Proporção áurea
A proporção
áurea, número de ouro, número áureo ou proporção de ouro é uma constante real
algébrica irracional denotada pela letra grega ϕ (PHI), em Homenagem ao escultor Phideas (Fídias)h, que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e
com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618.
Também é chamada
de seção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e
extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio
divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea
excelência.
O número de ouro
é ainda frequentemente chamado razão de Phidias .
Desde a
Antiguidade, a proporção áurea é empregada na arte.
É frequente a sua
utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto.
Este número está
envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi π),
como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção das conchas
(o nautilus, por exemplo), dos seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos
dedos, por exemplo) e nas colméias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem
a ordem do crescimento.
Justamente por
estar envolvido no crescimento, este número se torna tão frequente.
E justamente por
haver essa frequência, o número de ouro ganhou um status de "quase
mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores.
Apesar desse
status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está
inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo.
O fato de ser
encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.
Divisão em média
e extrema razão.
A partir de um
segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea multiplicando-o por
0,618 (média).
Para encontrar-se
um segmento maior, em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades
iniciais por 1,618.
Algébrica
A razão áurea é
definida algebricamente como:
A equação da
direita mostra que a = bϕ, o que pode ser substituído na parte esquerda,
resultando em:
Cancelando b em
ambos os lados, temos:
Multiplicando
ambos os lados por ϕ, resulta:
ϕ + 1 = ϕ2.
Finalmente,
subtraindo ϕ2 de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas
por − 1, encontramos:
ϕ2 − ϕ − 1 = 0,
que é uma equação quadrática da forma , em que .
Agora, basta
resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
A única solução
positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
, que é o número
ϕ.
Sequência de
Fibonacci
Representação da
sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.
Como é um número
extraído da sequência de Fibonacci, o número áureo representa diretamente uma
constante de crescimento.
O número áureo é
aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., na qual cada número é a soma dos dois números
imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior.
Essa divisão
converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior.
Podemos ver um exemplo dessa convergência a
seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu sétimo termo [1, 1, 2,
3, 5, 8, 13]:
Série de frações
O número áureo
também pode ser encontrado através de frações sucessivas, normalmente
representadas com [a,b,c,d,e], o que resulta em:
A aproximação do
número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de
Frações.
O valor varia em
torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se
aproximando deste.
Série de raízes
Proporção áurea
na natureza
Por que esse
número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos?
Porque a
proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano
e no universo.
Este número,
assim como outros, por exemplo o Pi, estão presentes no mundo por uma razão
matemática existente na natureza.
Essa sequência
aparece na natureza, no DNA, no comportamento da refração da luz, dos átomos,
nas vibrações sonoras, no crescimento das plantas, nas espirais das galáxias,
dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.
Figuras
geométricas
Um decágono
regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em proporção áurea com o
raio da circunferência.
O pentagrama é
obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular.
O pentágono
menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o
pentágono maior, de onde se originou o pentagrama.
A razão entre as
medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.
Um pentagrama
regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular.
O pentágono menor, formado pelas interseções
das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se
originou o pentagrama.
A razão entre as
medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A
razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência
da razão áurea.
Chamando os
vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por
A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles
A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.
Quando Pitágoras
descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse
símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica.
Esse era um dos
motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja,
que a natureza segue padrões matemáticos.
A Maçonaria
também tomou emprestado o simbolismo da Proporção Dourada em seus ensinamentos,
com a utilização de seu método para obtenção do Pentagrama e do Quadrado
Oblongo, existentes em algumas Lojas Maçônicas.
Vegetais
Semente de
girassol –
A proporção em
que aumenta o diâmetro das espirais de sementes de um girassol é a razão áurea.
Achillea ptarmica
–
Razão do crescimento de seus galhos.
Folhas das
Árvores –
A proporção em
que diminuem as folhas de uma árvore à medida que subimos de altura.
Animais
População de
abelhas –
A proporção entre abelhas fêmeas e machos em
qualquer colméia.
Concha do
caramujo Nautilus –
A proporção em
que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo.
Este molusco
bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras para poder regular a
profundidade de sua flutuação. Obs.: até hoje não se encontrou nenhum caramujo
Nautilus que comprove essa afirmação amplamente difundida!
* vide "O
número de Ouro", Michel Spira, palestra OBMEP, 2006; Colaboração: Prof.
Francisco Teodorico Pires de Souza
Outros –
phi estão também
nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.
Corpo humano
O Homem Vitruviano,
de Leonardo da Vinci.
As idéias de
proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
Proporções áureas
em uma mão.
A altura do corpo
humano e a medida do umbigo até o chão.
A altura do
crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
A medida da
cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
A medida do ombro
à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
O tamanho dos
dedos e a medida da dobra central até a ponta.
A medida da dobra
central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
Essas proporções
anatômicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de
Leonardo Da Vinci.
Aplicações
O homem sempre
tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, seja nos projetos
arquitetônicos, seja até mesmo na música.
Arte
A proporção áurea
foi muito usada na arte, em obras como
O Nascimento de
Vênus, quadro de Botticelli, em
que Afrodite está na proporção áurea.
Essa proporção
estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza.
Na história da
arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com
base nessa constante.
Vários pintores e
escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para
retratar a realidade com mais perfeição.
A Mona Lisa, de
Leonardo da Vinci, utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e
cabeça, e também entre os elementos do rosto.
Literatura
Na literatura, o
número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada,
de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia.
Quem o ler notará
que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a
1,618, o número de ouro.
Luís de Camões na
sua obra
Os Lusíadas,
colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro.
Virgílio em sua
obra Eneida, construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.
Retângulo dourado
Proporção áurea
em retângulos.
Rectângulo de
ouro
Trata-se do
retângulo no qual a proporção entre o comprimento e a largura é aproximadamente
o número Phi, ou seja, 1,618, que reflete também as proporções do Parténon.
Os egípcios
fizeram o mesmo com as pirâmides.
Por exemplo, cada
bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nível logo acima.
As câmaras no
interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os
comprimentos das salas são 1,618 vezes maiores que as larguras.
Música
O número de ouro
está presente nas famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a Sinfonia n.º 9, de
Ludwig van Beethoven, e em outras diversas obras.
Outro fato
interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de
jazz Max Roach, é que, em seus solos curtos, aparece tal número, se
considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa. O
compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta relação de proporcionalidade
constantemente em sua obra. Este fato pode ser visto na análise da música de
Bartók feita por Ernö Lendvai
(Béla
Bartók: And Analysis of his Music).
Cinema
O diretor russo
Sergei Eisenstein se utilizou do número ϕ no filme
O Encouraçado
Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão
pelo tamanho das fitas de película.
Objetos atuais
Atualmente, essa
proporção ainda é muito usada.
Ao padronizar
internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas
procuraram "respeitar" a proporção divina.
A razão entre o
comprimento e a largura de um cartão de crédito, alguns livros, jornais, uma
foto revelada, entre outros.
Fonte:
WinkipédiA
Adaptado:
Ay...
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